Deux éléments d'un groupe : quelle chance de commuter ?

Énoncé

Soit $G$ un groupe fini non commutatif.

On tire $x$ et $y$ au hasard dans $G$ .

Montrer que la probabilité que $xy=yx$ est au plus $\dfrac58$ .

Couples qui commutent : $\sum_{x\in G}\#C(x)$ , avec $C(x)=\{y : xy=yx\}$
Lagrange, sous-groupe strict : $\#C(x)\le \frac n2$ , et $C(x)=G$ si $x\in Z$
Centre : $Z \subsetneq C(x) \subsetneq G$ , donc $\#Z\le \frac n4$
Total : $\le \frac{n^2}{2}+\frac{n\,\#Z}{2}\le\frac58 n^2$ , donc $P(xy=yx)\le \frac58$

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.