Exo du jour · Maths · Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices

Deux tas de même masse : les cailloux pèsent-ils tous pareil ?

Énoncé

On a $2n+1$ cailloux.

Quel que soit celui qu'on met de côté, les $2n$ autres peuvent se répartir en deux tas de $n$ cailloux de même masse totale.

Montrer que tous les cailloux ont la même masse.

Caillou $i$ écarté : $\sum_j a_{ij}x_j=0$ , $a_{ii}=0$ , $a_{ij}=\pm1$
Noyau : $AX=0$ et $A\,(1,\dots,1)^\top=0$ , il suffit que $\operatorname{rg}A=2n$
Modulo $2$ : $\det B\equiv\det(J-I_{2n}) \pmod 2$
$\det(J-I_{2n})=-(2n-1)$ impair, donc $\det B\neq0$

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.