Groupes, anneaux et corps : quels morphismes de Sn dans C* ?

Énoncé

Déterminer tous les morphismes de groupes de $(\mathfrak S_n,\circ)$ dans $(\mathbb C^*,\times)$ , pour $n\ge2$ .

Transpositions conjuguées : $\tau'=\sigma\tau\sigma^{-1}$ , donc $\chi(\tau')=\chi(\tau)=c$
$\tau^2=\mathrm{id}$ : $c^2=1$ , donc $c=\pm1$
Produit de $k$ transpositions : $\chi(\sigma)=c^k$
$c=1$ : $\chi=1$ , et $c=-1$ : $\chi(\sigma)=(-1)^k=\varepsilon(\sigma)$

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.