Exo du jour · Maths · Premier ordre

Jusqu'où descend l'intégrale de |f' − f| ?

Énoncé

Déterminer la borne inférieure de

\int_0^1|f'(t)-f(t)|\,dt

lorsque $f$ parcourt les fonctions de classe $C^1$ sur $[0,1]$ telles que $f(0)=0$ et $f(1)=1$ .

Changement de fonction : $g(t)=\mathrm{e}^{-t}f(t)$ , donc $f'-f=\mathrm{e}^{t}g'$ , $g(0)=0$ , $g(1)=\frac{1}{\mathrm{e}}$
Minoration : $\int_0^1|f'-f|=\int_0^1\mathrm{e}^{t}|g'|\ge\int_0^1|g'|\ge\Big|\int_0^1 g'\Big|=\frac{1}{\mathrm{e}}$
Non atteinte : $\mathrm{e}^{t}|g'|=|g'|\Rightarrow g'=0$ pour $t\neq0$ , donc $g$ constante
Approche : $g$ monte de $0$ à $\frac{1}{\mathrm{e}}$ sur $[0,\varepsilon]$ puis reste constante, donc $\int_0^1|f'-f|\le\frac{\mathrm{e}^{\varepsilon}}{\mathrm{e}}$

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.