Exo du jour · Maths · Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles ou complexes

Un mobile de l'arrêt à l'arrêt : quelle accélération ?

Énoncé

Soit $f$ de classe $C^1$ sur $[0,1]$ , deux fois dérivable sur $]0,1[$ , avec $f(0)=0$ , $f(1)=1$ et $f'(0)=f'(1)=0$ .

Montrer qu'il existe $x\in\,]0,1[$ tel que

|f''(x)|\ge4

Taylor-Lagrange depuis $0$ : $f(\tfrac12)=\tfrac18 f''(c_1)$ , $c_1\in\,]0,\tfrac12[$
Depuis $1$ : $f(\tfrac12)=1+\tfrac18 f''(c_2)$ , $c_2\in\,]\tfrac12,1[$
On soustrait : $8=|f''(c_1)-f''(c_2)|\le|f''(c_1)|+|f''(c_2)|$ , donc l'un des deux $\ge4$
Cas limite : accélération $+4$ puis $-4$ , la constante $4$ est la meilleure

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.