Exo du jour · Maths · Matrices par blocs et sous-espaces stables

Endomorphismes nilpotents qui commutent : leur produit ?

Énoncé

Soit $E$ de dimension $n$ et $u_1,\dots,u_n$ des endomorphismes nilpotents de $E$ qui commutent deux à deux.

Que vaut

u_1\circ u_2\circ\cdots\circ u_n

Images successives : $F_0=E$ , $F_k=u_k(F_{k-1})$
Stabilité par commutation : $u_j(u_k\cdots u_1(x)) = u_k\cdots u_1(u_j(x)) \in F_k$
Induit nilpotent, donc non surjectif : $F_k \subsetneq F_{k-1}$ si $F_{k-1}\ne\{0\}$
Dimension nulle à la fin : $\dim F_n \le n-n = 0$ , donc $u_1\circ\cdots\circ u_n = 0$

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.