Exo du jour · Maths · Trace

Trois projecteurs et des racines : que valent q et r ?

Énoncé

Soient $p$ , $q$ , $r$ trois projecteurs d'un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie.

On suppose que

p+\sqrt2\,q+\sqrt3\,r

est encore un projecteur.

Montrer que $q=r=0$ .

Trace d'un projecteur : $\operatorname{tr}p=\operatorname{rg}p$ , un entier
Trace de la somme : $b\sqrt2+c\sqrt3=a$ , avec $b=\operatorname{rg}q$ , $c=\operatorname{rg}r$ et $a$ entiers
Au carré : $2b^2+3c^2+2bc\sqrt6=a^2$ , $\sqrt6$ irrationnel donc $bc=0$
Un cas nul force l'autre : $b=c=0$ , donc $q=r=0$

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.