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Exo du jour · Maths · Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles ou complexes

Équation fonctionnelle : quelles fonctions f ?

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f:\mathbb R_+^*\to\mathbb R_+^*$ telles que

f(xf(y))=yf(x)

pour tous $x,y>0$ , et $f(x)\to0$ quand $x\to+\infty$ .

Les étapes clés

Points fixes : $f(a)=a$ , ensemble $P$
Avec $y=x$ : $f(xf(x))=xf(x)$ , donc $xf(x)\in P$ , objectif $P=\{1\}$
Stabilités : $f(ab)=ab$ , $f(1)=1$ , $f\!\left(\tfrac1a\right)=\tfrac1a$
$a>1$ dans $P$ : $f(a^n)=a^n\to+\infty$ , contre $f\to0$ , donc $f(x)=\dfrac1x$

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Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

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