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Exo du jour · Maths · Trace · Mines-Ponts · MP · 2025

Rang et trace : une matrice est-elle un projecteur ?

Énoncé

Montrer que pour A∈Mn(C)A\in\mathcal M_n(\mathbb C) : A2=AA^2=A si et seulement si rg⁡A≤tr⁡A\operatorname{rg}A\le\operatorname{tr}A et rg⁡(In−A)≤tr⁡(In−A)\operatorname{rg}(I_n-A)\le\operatorname{tr}(I_n-A).

Les étapes clés

  1. Somme des hypothèses : rg⁡A+rg⁡(I−A)≤tr⁡I=n\operatorname{rg}A+\operatorname{rg}(I-A)\le\operatorname{tr}I=n
  2. A+(I−A)=IA+(I-A)=I, de rang nn : rg⁡A+rg⁡(I−A)=n\operatorname{rg}A+\operatorname{rg}(I-A)=n
  3. Noyaux de dimensions n−rg⁡An-\operatorname{rg}A et n−rg⁡(I−A)n-\operatorname{rg}(I-A), seul vecteur commun nul : Cn=ker⁡A⊕ker⁡(A−I)\mathbb{C}^n=\ker A\oplus\ker(A-I), donc A2=AA^2=A
  4. Sens direct : un projecteur a pour trace son rang

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Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

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