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Exo du jour · Physique · Oscillateur harmonique

Oscillateurs libres et forcés : planche sur rouleaux ?

Énoncé

Une planche horizontale repose sur deux cylindres d'axes parallèles distants de ℓ\ell, qui tournent en sens inverses en entraînant le dessus vers le milieu.

Elle glisse sur les deux avec le coefficient de frottement μ\mu.

Quel est son mouvement ?

Planche horizontale posée sur deux cylindres vus en coupe, qui tournent en sens inverses et entraînent le dessus de la planche vers le milieu, avec la distance entre les axes, l'abscisse du centre de masse, les deux réactions et le poids.
Figure : Planche de masse mm sur deux rouleaux distants de ℓ\ell, centre de masse GG d'abscisse xx

Les étapes clés

  1. Réactions par les moments : N1=mgℓ(ℓ2−x)N_1=\frac{mg}{\ell}\left(\frac\ell2-x\right), N2=mgℓ(ℓ2+x)N_2=\frac{mg}{\ell}\left(\frac\ell2+x\right)
  2. Frottements vers le milieu : mx¨=μN1−μN2=−2μmgℓ xm\ddot x=\mu N_1-\mu N_2=-\frac{2\mu mg}{\ell}\,x
  3. Oscillateur harmonique : x¨+2μgℓ x=0\ddot x+\frac{2\mu g}{\ell}\,x=0, ω02=2μgℓ\omega_0^2=\frac{2\mu g}{\ell}
  4. Oscillation non amortie (moteurs) : T=2πℓ2μgT=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{2\mu g}}

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Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

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