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Exo du jour · Physique · Mouvement d'un référentiel par rapport à un autre

Dynamique en référentiel non galiléen : Jupiter brise une comète

Énoncé

Une comète sphérique (masse volumique μc\mu_c, rayon RcR_c) tourne autour de Jupiter (rayon RJR_J, masse volumique μJ\mu_J) à la distance d≫Rcd\gg R_c.

Elle se disloque si la force de marée à sa surface dépasse sa propre attraction.

Quelle est la distance limite dlim⁡d_{\lim} ?

Jupiter, grand disque de centre J et de rayon RJ à gauche, la comète, petit disque de centre C et de rayon Rc à droite, distance d entre les centres, un petit morceau P sur la face de la comète tournée vers Jupiter
Figure : Jupiter de rayon RJR_J, la comète de rayon RcR_c à la distance d=JCd=JC, et le morceau PP de sa surface

Les étapes clés

  1. Marée sur un morceau côté Jupiter : GMJ(d−Rc)2−GMJd2≈2GMJRcd3\frac{GM_J}{(d-R_c)^2}-\frac{GM_J}{d^2}\approx\frac{2GM_JR_c}{d^3}
  2. Gravité propre : GMcRc2=43πGμcRc\frac{GM_c}{R_c^2}=\frac43\pi G\mu_cR_c
  3. Avec MJ=43πRJ3μJM_J=\frac43\pi R_J^3\mu_J, marée : 8π3GμJRJ3Rcd3\frac{8\pi}{3}\frac{G\mu_JR_J^3R_c}{d^3}
  4. Égalité : dlim⁡=RJ(2μJμc)1/3d_{\lim}=R_J\left(\frac{2\mu_J}{\mu_c}\right)^{1/3}

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Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

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