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Exo du jour · Physique · Référentiels de l'astronomie et référentiel terrestre

Pendule du Panthéon : combien de temps pour un tour du plan ?

Énoncé

Le pendule de Foucault du Panthéon, long de 6767 m, oscille à la latitude λ=48,8°\lambda=48{,}8°.

En combien de temps son plan d'oscillation fait-il un tour complet par rapport au sol ?

Pendule de Foucault vu en perspective, point de suspension A, fil de longueur l, boule M près de sa position d'équilibre O, axe x vers l'est, axe y vers le nord, axe z vertical ascendant, et en médaillon la Terre en coupe avec l'axe des pôles, le vecteur rotation Omega et la latitude lambda
Figure : Pendule de longueur ℓ=67\ell=67 m à la latitude λ=48,8°\lambda=48{,}8°, axes xx (est), yy (nord), zz (vertical)

Les étapes clés

  1. Seule compte la composante verticale de la rotation : Ωsin⁡λ\Omega\sin\lambda
  2. Équation en u=x+iyu=x+iy : u¨+2i Ωsin⁡λ u˙+ω02u=0\ddot u+2i\,\Omega\sin\lambda\,\dot u+\omega_0^2u=0
  3. Avec u=e−iΩsin⁡λ t vu=e^{-i\Omega\sin\lambda\,t}\,v : v¨+ω02v≈0\ddot v+\omega_0^2v\approx0
  4. Un tour du plan : T=23 h 56sin⁡λ≈32T=\dfrac{23\text{ h }56}{\sin\lambda}\approx32 h

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Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

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