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Exo du jour · Physique · Lois de Newton et forces usuelles

Pourquoi les nuages ne tombent-ils pas ?

Énoncé

Dans l'air (ρa=1,3\rho_a=1{,}3 kg/m3^3, η=1,8×10−5\eta=1{,}8\times10^{-5} Pa·s), une goutte subit la traînée Cxρav22πr2C_x\frac{\rho_av^2}{2}\pi r^2, avec Cx=24ReC_x=\frac{24}{Re} si Re=2ρavrη<100Re=\frac{2\rho_avr}{\eta}<100 et Cx=0,25C_x=0{,}25 sinon.

Comparer la vitesse limite d'une goutte de pluie (r=0,6r=0{,}6 mm) et d'une gouttelette de nuage (r=0,6 μr=0{,}6\ \mum).

une goutte de pluie et une gouttelette de nuage beaucoup plus petite, chacune soumise à son poids vers le bas et à la traînée de l'air vers le haut
Figure : Goutte de pluie de rayon rr et gouttelette de rayon r′r' dans l'air

Les étapes clés

  1. Vitesse limite : poids égal traînée, puis vérifier ReRe
  2. Gouttelette, Stokes F=6πηrvF=6\pi\eta rv : v′=2ρgr′29η≈4,4×10−5 m.s−1v'=\frac{2\rho g r'^2}{9\eta}\approx4{,}4\times10^{-5}\,\mathrm{m.s^{-1}}, Re≈4×10−6Re\approx4\times10^{-6}
  3. Pluie, Stokes donne Re≈4000Re\approx4000, avec Cx=0,25C_x=0{,}25 : v=32ρgr3ρa≈7 m.s−1v=\sqrt{\frac{32\rho g r}{3\rho_a}}\approx7\,\mathrm{m.s^{-1}}, Re≈600Re\approx600
  4. Régime visqueux : v∝r2v\propto r^2, gouttelette environ 160 000160\,000 fois plus lente

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Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

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