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Exo du jour · Maths · Racines n-ièmes · CCINP · MP · 2025

Pourquoi ces solutions complexes sont réelles

Énoncé

Résoudre dans C\mathbb C l'équation

(z+i)n=(z−i)n(z+i)^n=(z-i)^n

(n≥2n\ge2) et montrer que les solutions sont réelles.

Les étapes clés

  1. ii n'est pas solution, on pose : ω=z+iz−i\omega=\dfrac{z+i}{z-i}
  2. ωn=1\omega^n=1, ω≠1\omega\neq1 : ω=e2ikπ/n\omega=e^{2ik\pi/n}, 1≤k≤n−11\le k\le n-1
  3. Retour à zz : z=i ω+1ω−1z=i\,\dfrac{\omega+1}{\omega-1}
  4. Avec u=eikπ/nu=e^{ik\pi/n} et Euler : zk=cot⁡kπnz_k=\cot\dfrac{k\pi}{n}

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Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

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