Exo du jour · Maths · Nombres de module 1 et trigonométrie · CCINP · MP · 2025

Somme des cordes d'un polygone régulier

Énoncé

Soit $n\ge2$ et $z=e^{2i\pi/n}$ .

Calculer le module de $z^k-1$ , puis montrer que

\sum_{k=0}^{n-1}|z^k-1|=\dfrac{2}{\tan\frac{\pi}{2n}}

Sommets $z^k$ avec $z=e^{2i\pi/n}$ , corde : $|z^k-1|$
Hauteur du triangle isocèle : $|z^k-1|=2\sin\frac{k\pi}{n}$
Produit par $2\sin\frac{\pi}{2n}$ : $2\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{k\pi}{n}=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}-\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$
Télescopage : $\frac{2}{\tan\frac{\pi}{2n}}$ , carré : $2+2\sqrt{2}$

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.