Le cours

Résumé en cinq points

Un espace vectoriel réel de dimension $n$ est un ensemble muni de $+$ et de $\cdot$ que l'on identifie à $\R^n$ par une bijection préservant les combinaisons linéaires. Les exemples de référence sont $\R^n$ , $\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ et $\R_n[x]$ .
Une base est une famille libre et génératrice. Elle donne à chaque vecteur des coordonnées uniques.
En dimension $n$ , une famille libre a au plus $n$ vecteurs, une famille génératrice au moins $n$ , et une famille de $n$ vecteurs libre ou génératrice est une base.
Un sous-espace vectoriel contient le vecteur nul et est stable par combinaison linéaire. Sa dimension est inférieure ou égale à celle de l'espace, avec égalité seulement s'il est l'espace entier.
Le rang d'une famille est la dimension de l'espace qu'elle engendre. Il se calcule par le pivot et détecte à la fois la liberté et le caractère générateur.

Pourquoi ce chapitre

En première année, on a manipulé des vecteurs colonnes, des matrices et des systèmes linéaires comme des objets de calcul. Ce chapitre leur donne un cadre commun. Un espace vectoriel réel de dimension finie est un ensemble d'objets que l'on peut additionner et multiplier par un réel, et qui se comporte exactement comme $\R^n$ .

L'intérêt est double.

On gagne du vocabulaire : famille libre, famille génératrice, base, dimension, rang. Il sert dans les chapitres suivants, en particulier dans la réduction des matrices et dans l'étude des points critiques d'une fonction de deux variables.
On gagne en souplesse : les mêmes raisonnements valent pour des colonnes, pour des matrices et pour des polynômes.

Aux concours, ce chapitre est presque toujours un outil. Une question demande de montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel, d'en donner une base, ou de calculer le rang d'une famille.

1Espace vectoriel réel de dimension finie

1.1La définition du programme

Définition 1.1Espace vectoriel réel de dimension $n$

Soit $n$ un entier naturel non nul. Un ensemble $E$ est un espace vectoriel réel de dimension $n$ lorsque :

il est muni d'une opération interne notée $+$ ;
il est muni d'une opération externe notée $\cdot$ qui à un réel $\lambda$ et à un élément $x$ de $E$ associe $\lambda \cdot x$ ;
il existe une bijection $\varphi$ de $E$ sur $\R^n$ qui préserve les combinaisons linéaires, c'est-à-dire telle que $\varphi(\lambda\cdot x + \mu\cdot y) = \lambda\varphi(x) + \mu\varphi(y)$ pour tous réels $\lambda$ , $\mu$ et tous $x$ , $y$ de $E$ .

Les éléments de $E$ sont appelés vecteurs. L'entier $n$ est la dimension de $E$ , notée $\dim(E)$ . On convient que l'espace réduit au seul vecteur nul est de dimension $0$ .

Le programme se limite par définition au cas de la dimension finie. Il n'y a pas de liste d'axiomes à vérifier ni d'espace de dimension infinie à connaître.

1.2Ce que la définition apporte

La bijection $\varphi$ est un dictionnaire. Elle traduit chaque vecteur de $E$ en une colonne de $\R^n$ , et les combinaisons linéaires en combinaisons linéaires. Tout énoncé du type « telle combinaison linéaire est nulle », « telle famille est libre », « tel vecteur appartient à l'espace engendré par les autres » se lit indifféremment dans $E$ ou dans $\R^n$ . On peut donc travailler avec des colonnes de nombres, même quand les vecteurs de départ sont des matrices ou des polynômes.

Le vecteur nul de $E$ , noté $0_E$ , est l'unique vecteur dont l'image par $\varphi$ est la colonne nulle. Pour tout $x$ de $E$ , $0\cdot x = 0_E$ .

1.3Les espaces de référence

Le programme fixe trois exemples, qu'il faut savoir manipuler.

$\R^n$ , ensemble des $n$ -uplets de réels, ou des colonnes à $n$ lignes. Sa dimension est $n$ .
$\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ , ensemble des matrices réelles à $n$ lignes et $p$ colonnes, avec l'addition matricielle et la multiplication par un réel. Sa dimension est $np$ .
$\R_n[x]$ , ensemble des polynômes réels de degré inférieur ou égal à $n$ , polynôme nul compris. Sa dimension est $n + 1$ .

Exemple 1.2Panier de biens

Un panier décrit par les quantités de trois produits est un vecteur de $\R^3$ . La somme de deux paniers cumule les quantités, et doubler un panier revient à multiplier par $2$ .

Attention

$\R_n[x]$ est de dimension $n + 1$ , pas $n$ , car le degré $0$ compte. L'ensemble des polynômes de degré exactement $n$ n'est pas un espace vectoriel : la somme de deux polynômes de degré $n$ peut être de degré strictement plus petit, et le polynôme nul n'y appartient pas.

2Familles libres, génératrices, bases

Dans toute cette section, $E$ est un espace vectoriel réel de dimension $n$ , et $(v_1, \dots, v_p)$ est une famille de vecteurs de $E$ .

2.1Combinaison linéaire

Définition 2.1Combinaison linéaire, espace engendré

Une combinaison linéaire de $(v_1, \dots, v_p)$ est un vecteur de la forme $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p$ , où les $\lambda_i$ sont des réels. L'ensemble de ces combinaisons linéaires se note $\Vect(v_1, \dots, v_p)$ : c'est l'espace engendré par la famille.

2.2Famille génératrice

Définition 2.2Famille génératrice

La famille $(v_1, \dots, v_p)$ est génératrice de $E$ lorsque tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire des $v_i$ , autrement dit lorsque $\Vect(v_1, \dots, v_p) = E$ .

Ajouter un vecteur à une famille génératrice donne encore une famille génératrice.

2.3Famille libre

Définition 2.3Famille libre, famille liée

La famille $(v_1, \dots, v_p)$ est libre lorsque la seule combinaison linéaire nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls, c'est-à-dire lorsque $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p = 0_E \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0.$ Sinon, la famille est liée.

Une famille liée contient au moins un vecteur qui est combinaison linéaire des autres.

Propriété 2.4Cas particuliers

Une famille d'un seul vecteur est libre si et seulement si ce vecteur est non nul.
Une famille de deux vecteurs est libre si et seulement si aucun des deux n'est multiple de l'autre.
Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
Toute famille contenant deux fois le même vecteur est liée.
Toute sous-famille d'une famille libre est libre.

2.4Base et coordonnées

Définition 2.5Base

Une base de $E$ est une famille à la fois libre et génératrice.

Théorème 2.6Coordonnées dans une base

Hypothèses

$\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$ ;
$x$ est un vecteur de $E$ .

Alors $x$ s'écrit de manière unique $x = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n$ . Les réels $x_1, \dots, x_n$ sont les coordonnées de $x$ dans $\mathcal{B}$ , et on note $X_{\mathcal{B}}$ la colonne de ces coordonnées.

L'existence vient du caractère générateur, l'unicité du caractère libre. C'est le rôle des deux conditions, à savoir dire en khôlle.

2.5Bases canoniques

Base canonique de $\R^n$ : la famille $(e_1, \dots, e_n)$ où $e_i$ a un $1$ en $i$ -ième position et des $0$ ailleurs. Les coordonnées d'un vecteur sont ses propres composantes.
Base canonique de $\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ : la famille des matrices élémentaires $E_{ij}$ , qui ont un $1$ à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$ , et des $0$ ailleurs. Il y en a $np$ .
Base canonique de $\R_n[x]$ : la famille $(1, x, x^2, \dots, x^n)$ . Les coordonnées d'un polynôme sont ses coefficients. Il y en a $n + 1$ .

2.6Dimension et familles

Propriété 2.7Dimension et cardinal des familles

Soit $E$ de dimension $n$ .

Toutes les bases de $E$ ont exactement $n$ vecteurs.
Toute famille libre de $E$ a au plus $n$ vecteurs. Une famille de plus de $n$ vecteurs est donc liée.
Toute famille génératrice de $E$ a au moins $n$ vecteurs.
Une famille de exactement $n$ vecteurs est une base dès qu'elle est libre, et aussi dès qu'elle est génératrice.

Quand on connaît la dimension, il n'y a plus qu'une seule des deux propriétés à démontrer, et on choisit la plus facile, en général la liberté.

3Sous-espaces vectoriels

3.1Définition et critère

Définition 3.1Sous-espace vectoriel

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ lorsque $F$ contient le vecteur nul et est stable par combinaison linéaire : pour tous $x$ , $y$ de $F$ et tous réels $\lambda$ , $\mu$ , le vecteur $\lambda x + \mu y$ appartient à $F$ .

Un sous-espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel réel de dimension finie.

MéthodeMontrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel

Vérifier que $F$ est inclus dans $E$ .
Vérifier que $0_E$ appartient à $F$ .
Prendre $x$ et $y$ dans $F$ , $\lambda$ et $\mu$ réels, et vérifier que $\lambda x + \mu y$ satisfait la condition définissant $F$ .

3.2Exemples

L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène à $n$ inconnues est un sous-espace vectoriel de $\R^n$ .
$\Vect(v_1, \dots, v_p)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , le plus petit qui contient tous les $v_i$ .
Dans $\mathcal{M}_n(\R)$ , l'ensemble des matrices symétriques est un sous-espace vectoriel.
Dans $\R^3$ , un plan passant par l'origine est un sous-espace vectoriel de dimension $2$ .

Attention

Si le système n'est pas homogène, l'ensemble des solutions ne contient pas le vecteur nul et n'est pas un sous-espace vectoriel. De même, l'ensemble des matrices inversibles n'en est pas un, car il ne contient pas la matrice nulle, et un plan ne passant pas par l'origine non plus.

3.3Dimension d'un sous-espace

Propriété 3.2Dimension d'un sous-espace

Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , alors $\dim(F) \leqslant \dim(E)$ , avec égalité si et seulement si $F = E$ .

Pour montrer que deux sous-espaces sont égaux, il suffit souvent de montrer une inclusion et l'égalité des dimensions.

4Rang d'une famille de vecteurs

4.1Définition

Définition 4.1Rang

Le rang de la famille $(v_1, \dots, v_p)$ , noté $\rg(v_1, \dots, v_p)$ , est la dimension de $\Vect(v_1, \dots, v_p)$ .

4.2Propriétés

Propriété 4.2Propriétés du rang

$\rg(v_1, \dots, v_p) \leqslant p$ et $\rg(v_1, \dots, v_p) \leqslant \dim(E)$ .
La famille est libre si et seulement si son rang vaut $p$ .
La famille est génératrice de $E$ si et seulement si son rang vaut $\dim(E)$ .
Le rang ne change pas si on permute deux vecteurs, si on multiplie un vecteur par un réel non nul, ou si on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres.

Ce sont les opérations élémentaires du pivot de Gauss.

4.3Calcul pratique

On écrit les vecteurs en colonnes ou en lignes dans une base, on forme une matrice, et on applique la méthode du pivot. Le rang est le nombre de lignes non nulles obtenues à la fin. Le rang d'une famille coïncide avec le rang de la matrice formée par leurs coordonnées, notion vue en première année.

Exemple 4.3Rang dans $\R^3$

On prend $v_1 = (1, 2, 3)$ , $v_2 = (2, 4, 6)$ et $v_3 = (0, 1, 1)$ . On a $v_2 = 2v_1$ , donc la famille est liée et son rang est au plus $2$ . Comme $v_1$ et $v_3$ ne sont pas proportionnels, le rang vaut $2$ . L'espace engendré est un plan de $\R^3$ .

Méthodes

MéthodeMontrer qu'une famille est libre

Partir de $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p = 0_E$ .
Traduire en système linéaire dans une base.
Prouver que la seule solution est la solution nulle.

MéthodeMontrer qu'une famille est une base, la dimension $n$ étant connue

Vérifier que la famille a $n$ vecteurs.
Montrer seulement qu'elle est libre.

MéthodeMontrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel

Vérifier l'appartenance du vecteur nul.
Vérifier la stabilité par combinaison linéaire.

Ne jamais oublier le vecteur nul : c'est le point qui fait tomber les ensembles pièges.

MéthodeDéterminer une base d'un sous-espace défini par des équations

Résoudre le système.
Exprimer les solutions en fonction de paramètres libres.
Les vecteurs qui accompagnent les paramètres forment une base ; le nombre de paramètres donne la dimension.

MéthodeDéterminer une base de $\Vect(v_1, \dots, v_p)$

Appliquer le pivot.
Garder les vecteurs correspondant aux pivots.

MéthodeProuver une égalité de sous-espaces

Montrer une inclusion.
Montrer l'égalité des dimensions.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Énoncer la définition d'un espace vectoriel réel de dimension $n$ telle qu'elle figure au programme, avec la bijection sur $\R^n$ .
Donner la base canonique et la dimension de $\R^n$ , de $\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ et de $\R_n[x]$ .
Montrer qu'une famille de trois vecteurs de $\R^3$ est libre, et en déduire que c'est une base.
Montrer que l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène est un sous-espace vectoriel, et en donner une base.
Expliquer pourquoi l'ensemble des matrices inversibles n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\R)$ .
Calculer le rang d'une famille de vecteurs par le pivot et en déduire si elle est libre ou génératrice.
Justifier qu'une famille de quatre vecteurs de $\R^3$ est nécessairement liée.
Donner les coordonnées d'un polynôme de $\R_2[x]$ dans la base canonique, puis dans la base $(1, x - 1, (x-1)^2)$ après avoir vérifié que c'est bien une base.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Dimensions de référence. Rⁿ est de dimension n, M_n,p(R) de dimension np, R_n[x] de dimension n + 1, avec leurs bases canoniques. Exigibles, à connaître par cœur.
Dans une base, tout vecteur a des coordonnées uniques. Exigible avec démonstration, existence par le caractère générateur, unicité par la liberté.
Toute famille contenant le vecteur nul, ou deux fois le même vecteur, est liée. Toute sous-famille d'une famille libre est libre. Exigibles avec démonstration, deux lignes chacune.
Une famille de deux vecteurs est libre si et seulement si aucun n'est multiple de l'autre. Exigible avec démonstration.
Une famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. Non listée explicitement au programme, mais la démonstration est élémentaire et attendue, on regarde le terme de plus haut degré.
Théorème de la dimension. Toutes les bases de E ont le même nombre de vecteurs, la dimension. Admis, le programme demande une présentation sans démonstration.
En dimension n, une famille libre a au plus n vecteurs, une famille génératrice au moins n. Une famille de n vecteurs est une base dès qu'elle est libre, ou dès qu'elle est génératrice. Admis.
Une partie F de E est un sous-espace vectoriel si elle contient 0_E et est stable par combinaison linéaire. Définition exigible. Vect(v₁, …, v_p) est un sous-espace vectoriel. Exigible avec démonstration.
L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène à n inconnues est un sous-espace vectoriel de Rⁿ. Exigible avec démonstration, c'est le résultat de première année.
Si F est un sous-espace vectoriel de E, dim F ≤ dim E, avec égalité si et seulement si F = E. Admis.
Le rang d'une famille est la dimension de l'espace qu'elle engendre. Il vaut au plus le nombre de vecteurs et au plus dim E. La famille est libre si et seulement si le rang égale son nombre de vecteurs. Exigibles à partir des résultats admis.
Le rang est invariant par les opérations élémentaires sur les vecteurs, et il égale le rang de la matrice des coordonnées. Admis, méthode de calcul par pivot.
Hors programme, à signaler. Les espaces vectoriels abstraits ou de dimension infinie, le théorème de la base incomplète, la somme de deux sous-espaces, les supplémentaires, la formule de Grassmann. L'intersection de deux sous-espaces est un sous-espace, résultat non listé mais redémontrable en trois lignes par le critère.

Clés de démonstration

Coordonnées uniques. Si x = Σ xᵢeᵢ = Σ x′ᵢeᵢ, alors Σ (xᵢ − x′ᵢ)eᵢ = 0_E, et la liberté force xᵢ = x′ᵢ. Astuce, l'unicité est toujours une soustraction de deux écritures suivie de la liberté.

Famille contenant 0_E. La combinaison 1 × 0_E + 0 × v₂ + … + 0 × v_p est nulle avec un coefficient non nul. Astuce, il suffit d'exhiber une combinaison nulle à coefficients non tous nuls.

Deux vecteurs. Si λu + μv = 0 avec λ ≠ 0, alors u = −(μ/λ)v, multiple de v. Réciproquement si u = kv, alors u − kv = 0 est une combinaison nulle à coefficient 1 devant u. Astuce, diviser par le coefficient non nul.

Polynômes de degrés échelonnés. Si Σ λᵢPᵢ = 0 avec les degrés dᵢ strictement croissants, le coefficient de x^d_p dans la somme est λ_p fois le coefficient dominant de P_p, donc λ_p = 0. On recommence avec les p − 1 premiers. Astuce, on élimine par le haut, degré par degré.

Vect est un sous-espace. Il contient 0_E avec tous les coefficients nuls, et une combinaison linéaire de deux combinaisons linéaires des vᵢ est encore une combinaison linéaire des vᵢ. Astuce, regrouper les coefficients vecteur par vecteur.

Solutions d'un système homogène. Le vecteur nul est solution. Si X et X′ sont solutions, chaque équation aᵢ₁x₁ + … + aᵢₙxₙ = 0 est linéaire, donc λX + μX′ la vérifie. Astuce, une équation à la fois, elles sont toutes du même type.

Exemples et contre-exemples à connaître

R_n[x] est de dimension n + 1 et non n, la constante compte. L'ensemble des polynômes de degré exactement n n'est pas un sous-espace, la somme de xⁿ et de −xⁿ + 1 est de degré 0, et le polynôme nul n'y est pas.
L'ensemble des matrices inversibles de M_n(R) n'est pas un sous-espace vectoriel, la matrice nulle n'en fait pas partie.
Le plan d'équation x + y + z = 1 dans R³ n'est pas un sous-espace, il ne contient pas l'origine. Le plan x + y + z = 0 en est un, de dimension 2.
Quatre vecteurs de R³ sont toujours liés, sans calcul. Une famille libre a au plus dim E vecteurs.
Deux vecteurs ne suffisent jamais à engendrer R³. Une famille génératrice a au moins dim E vecteurs.
La famille (u, v, u + v) est liée, quels que soient u et v, car u + v − (u + v) = 0. Une relation évidente suffit, pas besoin de système.
(1, x − 1, (x − 1)²) est une base de R₂[x], degrés échelonnés et trois vecteurs en dimension 3.
Les matrices symétriques d'ordre 2 forment un sous-espace de dimension 3 de M₂(R), qui est de dimension 4. Les matrices antisymétriques d'ordre 2 forment une droite.
Vect(v₁, v₂) = Vect(v₁, v₁ + v₂). Deux familles différentes peuvent engendrer le même espace, seul le rang est intrinsèque.
Une famille libre de R² a au plus deux vecteurs, mais (1, 0), (0, 1), (1, 1) est génératrice de R² sans être libre. Génératrice n'implique pas libre, sauf si le nombre de vecteurs est exactement la dimension.

Techniques du chapitre

Montrer qu'un ensemble est un sous-espace. Mini-exercice, F = {(x, y, z) ∈ R³, x + 2y − z = 0}. Le triplet nul convient. Si (x, y, z) et (x′, y′, z′) sont dans F et λ, μ réels, alors (λx + μx′) + 2(λy + μy′) − (λz + μz′) = λ × 0 + μ × 0 = 0. Sous-espace.

Trouver une base d'un sous-espace défini par équations. Mini-exercice, le même F. On résout, z = x + 2y, avec x = s et y = t libres. Tout vecteur de F s'écrit s(1, 0, 1) + t(0, 1, 2). Ces deux vecteurs engendrent F et ne sont pas colinéaires, base de F, dimension 2.

Liberté par système. Mini-exercice, u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 1), w = (0, 1, 1) dans R³. La relation au + bv + cw = 0 donne a + b = 0, a + c = 0, b + c = 0. En sommant, a + b + c = 0, puis c = 0, b = 0, a = 0. Libre.

Base par argument de dimension. Mini-exercice, la famille (u, v, w) ci-dessus est libre avec trois vecteurs en dimension 3, c'est une base de R³. Aucune vérification du caractère générateur n'est nécessaire.

Rang par pivot. Mini-exercice, v₁ = (1, 2, 1), v₂ = (2, 1, −1), v₃ = (1, −1, −2). On remarque v₃ = v₂ − v₁, donc le rang est au plus 2, et v₁, v₂ non colinéaires donnent un rang égal à 2.

Coordonnées dans une base non canonique. Mini-exercice, écrire (2, 3, 5) dans la base (u, v, w). Le système a + b = 2, a + c = 3, b + c = 5 donne a + b + c = 5, donc c = 3, b = 2, a = 0. Coordonnées (0, 2, 3).

Égalité de deux sous-espaces. Mini-exercice, F = Vect((1, 1, 1), (1, 0, −1)) et G = {(x, y, z), x − 2y + z = 0}. Les deux générateurs vérifient l'équation de G, donc F ⊂ G. dim F = 2 car les générateurs ne sont pas colinéaires, dim G = 2 car un plan d'équation, donc F = G.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Sous-espace ou non

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Parmi les parties suivantes de R², dire lesquelles sont des sous-espaces vectoriels. A = {(x, y), x + y = 1}. B = {(x, y), xy = 0}. C = {(x, y), x = 3y}. D = {(x, y), x ≥ 0}.

Technique tester le vecteur nul, puis chercher une combinaison qui sort.

Voir le corrigé

A ne contient pas (0, 0), non. 2. B contient (1, 0) et (0, 1), mais leur somme (1, 1) n'y est pas, non. 3. C contient (0, 0), et si x = 3y et x′ = 3y′, alors λx + μx′ = 3(λy + μy′). Sous-espace, la droite engendrée par (3, 1). 4. D contient (1, 0) mais pas −(1, 0), non.

piège : Tester la stabilité par addition seulement. La stabilité par multiplication par un réel négatif élimine D.

Exercice 2. Base de polynômes et coordonnées

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que (1, x − 1, (x − 1)²) est une base de R₂[x]. Donner les coordonnées de P = x² + x + 1 dans cette base.

Technique degrés échelonnés puis dimension, coordonnées par identification.

Voir le corrigé

Les trois polynômes sont non nuls de degrés 0, 1, 2, la famille est libre. 2. Trois vecteurs libres en dimension 3, c'est une base. 3. On cherche a + b(x − 1) + c(x − 1)² = x² + x + 1. Le coefficient de x² donne c = 1. Celui de x donne b − 2c = 1, b = 3. La constante donne a − b + c = 1, a = 3. 4. Coordonnées (3, 3, 1). Contrôle, 3 + 3(x − 1) + (x − 1)² = 3 + 3x − 3 + x² − 2x + 1 = x² + x + 1.

piège : Croire qu'il faut résoudre un système générique pour prouver le caractère générateur, alors que la dimension s'en charge.

Exercice 3. Matrices symétriques

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que l'ensemble S des matrices symétriques de M₂(R) est un sous-espace vectoriel, en donner une base et la dimension. Même question pour les matrices antisymétriques, celles qui vérifient ᵗM = −M.

Technique écrire la forme générale d'un élément, la décomposer sur des matrices fixes.

Voir le corrigé

La matrice nulle est symétrique, et ᵗ(λM + μN) = λᵗM + μᵗN = λM + μN si M, N sont symétriques. 2. Une matrice symétrique s'écrit avec a, b, d réels, ligne (a, b) puis ligne (b, d), soit aE₁₁ + b(E₁₂ + E₂₁) + dE₂₂. 3. Ces trois matrices engendrent S et sont libres, car la combinaison nulle impose a = b = d = 0 coefficient par coefficient. Dimension 3. 4. Une matrice antisymétrique a une diagonale nulle et s'écrit b(E₁₂ − E₂₁), droite de dimension 1.

piège : Annoncer dimension 4 pour S en oubliant que le coefficient b apparaît deux fois.

Exercice 4. Rang et équation d'un plan

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Dans R³, soient v₁ = (1, 2, 1), v₂ = (2, 1, −1), v₃ = (1, −1, −2), v₄ = (3, 3, 0). Calculer le rang de la famille, en extraire une base de F = Vect(v₁, v₂, v₃, v₄), et donner une équation de F.

Technique pivot sur les vecteurs en lignes, puis condition de compatibilité pour l'équation.

Voir le corrigé

On écrit les vecteurs en lignes. L2 ← L2 − 2L1 donne (0, −3, −3). L3 ← L3 − L1 donne (0, −3, −3). L4 ← L4 − 3L1 donne (0, −3, −3). 2. Trois lignes identiques, rang 2. 3. v₁ et v₂ ne sont pas colinéaires, ils forment une base de F. 4. Un vecteur (x, y, z) est dans F si le système a + 2b = x, 2a + b = y, a − b = z a une solution. De L3, a = b + z. Dans L1, 3b + z = x, b = (x − z)/3, a = (x + 2z)/3. Dans L2, 2(x + 2z)/3 + (x − z)/3 = y, soit x + z = y. 5. F est le plan d'équation x − y + z = 0. Contrôle, v₃ donne 1 + 1 − 2 = 0.

piège : Conclure que le rang vaut 1 parce que trois lignes deviennent identiques. Ces trois lignes sont non nulles, il reste deux lignes indépendantes.

Exercice 5. Sous-espace de R⁴ défini par deux équations

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit F = {(x, y, z, t) ∈ R⁴, x + y + z + t = 0 et x − y + z − t = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel, en donner une base et la dimension.

Technique ensemble de solutions d'un système homogène, résolution paramétrée.

Voir le corrigé

F est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène, c'est un sous-espace de R⁴. 2. L2 ← L2 − L1 donne −2y − 2t = 0, y = −t. Dans L1, x + z = 0. 3. Avec z = a et t = b libres, les vecteurs sont a(−1, 0, 1, 0) + b(0, −1, 0, 1). 4. Ces deux vecteurs engendrent F et ne sont pas colinéaires, base de F, dimension 2. Cohérence, quatre inconnues et deux équations indépendantes, il reste deux paramètres.

piège : Donner comme base les vecteurs des coefficients des équations, (1, 1, 1, 1) et (1, −1, 1, −1), qui ne sont pas dans F.

Exercice 6. Une famille de polynômes

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Montrer que (x², (x + 1)², (x + 2)²) est une base de R₂[x].

Technique liberté par identification des coefficients, puis dimension.

Voir le corrigé

On développe, (x + 1)² = x² + 2x + 1 et (x + 2)² = x² + 4x + 4. 2. La relation ax² + b(x + 1)² + c(x + 2)² = 0 donne, coefficient de x², a + b + c = 0, coefficient de x, 2b + 4c = 0, constante, b + 4c = 0. 3. Par soustraction des deux dernières, b = 0, puis c = 0, puis a = 0. Libre. 4. Trois vecteurs libres en dimension 3, base.

piège : Croire que trois polynômes de même degré sont forcément liés. L'argument des degrés échelonnés ne s'applique pas, mais le système tranche.

Exercice 7. Matrices qui commutent avec une matrice donnée

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soit A la matrice d'ordre 2 de lignes (1, 1) et (0, 1). Montrer que C = {M ∈ M₂(R), AM = MA} est un sous-espace vectoriel de M₂(R), en donner une base et la dimension.

Technique critère de sous-espace par linéarité du produit, puis calcul explicite.

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La matrice nulle commute avec A. Si M et N commutent avec A, A(λM + μN) = λAM + μAN = λMA + μNA = (λM + μN)A. Sous-espace. 2. Soit M de lignes (a, b) et (c, d). AM a pour lignes (a + c, b + d) et (c, d). MA a pour lignes (a, a + b) et (c, c + d). 3. L'égalité donne c = 0 et b + d = a + b, soit d = a. Donc M a pour lignes (a, b) et (0, a), soit M = aI + bN où N a pour seule entrée non nulle un 1 en position (1, 2). 4. (I, N) engendre C et est libre, car I et N ne sont pas colinéaires. Dimension 2.

piège : Croire que la réponse Vect(I, A) est fausse parce que la base trouvée est (I, N). Comme A = I + N, les deux familles engendrent le même espace, les deux réponses sont justes.

Exercice 8. Égalité de sous-espaces par la dimension

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soient F = Vect((1, 1, 0), (0, 1, 1)) et G = Vect((1, 0, −1), (1, 2, 1)) dans R³. Montrer que F = G.

Technique une inclusion et l'égalité des dimensions.

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(1, 0, −1) = (1, 1, 0) − (0, 1, 1) et (1, 2, 1) = (1, 1, 0) + (0, 1, 1). Donc les générateurs de G sont dans F, et G ⊂ F. 2. dim F = 2, les deux générateurs ne sont pas colinéaires. dim G = 2 pour la même raison. 3. G ⊂ F et dim G = dim F donnent G = F.

piège : Démontrer les deux inclusions alors qu'une seule plus la dimension suffit.

Exercice 9. Polynômes avec conditions en un point

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit F = {P ∈ R₃[x], P(1) = 0 et P′(1) = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R₃[x], en donner une base et la dimension.

Technique changer de base pour lire les conditions, avec la base (1, x − 1, (x − 1)², (x − 1)³).

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Le polynôme nul est dans F. Si P, Q sont dans F, (λP + μQ)(1) = 0 et (λP + μQ)′(1) = λP′(1) + μQ′(1) = 0. Sous-espace. 2. La famille (1, x − 1, (x − 1)², (x − 1)³) est libre par degrés échelonnés, et compte quatre vecteurs en dimension 4, c'est une base. Tout P s'écrit a + b(x − 1) + c(x − 1)² + d(x − 1)³. 3. P(1) = a et P′(1) = b. Donc P ∈ F si et seulement si a = b = 0. 4. F = Vect((x − 1)², (x − 1)³), famille libre par degrés, base de F, dimension 2.

piège : Travailler dans la base canonique, ce qui donne un système à quatre inconnues, juste, mais long. Le bon choix de base rend les conditions immédiates.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier le vecteur nul, ce qui fait accepter des ensembles pièges comme le plan x + y + z = 1.
Confondre dimension et nombre de vecteurs d'une famille. Quatre vecteurs peuvent engendrer un espace de dimension 2.
Compter n au lieu de n + 1 pour R_n[x], ou n au lieu de n² pour M_n(R).
Prouver qu'une famille est génératrice alors qu'elle a exactement dim E vecteurs et que la liberté suffit.
Donner comme base d'un sous-espace défini par équations les vecteurs des coefficients des équations.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques appliquées de deuxième année, voie EC, enseignement du troisième semestre, partie « Algèbre linéaire », paragraphe « Espaces vectoriels réels de dimension finie ». Le programme demande une présentation volontairement élémentaire, sans espace vectoriel abstrait et sans démonstration. Cette fiche suit ce parti pris.