Mathématiques A

Notations et définitions.

Pour $z \in \mathbb{C}$, $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et $\left\lvert z \right\rvert = \sqrt{z\overline{z}}$ son module. $\mathbb{R}_+$ est l'ensemble des réels positifs ou nuls.

Pour $x \in \mathbb{C}$ et $\delta \in \mathbb{R}_+$, $\mathbb{D}(x, \delta)$ est le disque fermé de centre $x$ et de rayon $\delta$, et $\partial\mathbb{D}(x, \delta)$ le cercle de même centre et de même rayon :

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\mathbb{C}^n$ est muni du produit scalaire hermitien, linéaire en la première variable et semi-linéaire en la seconde :

Résultats admis par l'énoncé :

Pour $(m, n) \in (\mathbb{N}^*)^2$, $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})$ désigne les matrices à $m$ lignes et $n$ colonnes et $\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) = \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{C})$.

Pour $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})$, ${}^tA$ est sa transposée, $\overline{A}$ sa conjuguée coefficient par coefficient et $A^* = {}^t\overline{A}$.

Les vecteurs de $\mathbb{C}^n$ sont des colonnes.

Il est admis que, pour tout $(x, y) \in (\mathbb{C}^n)^2$ et tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ :

Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, la norme subordonnée, admise comme norme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, et le conditionnement de $P$ inversible sont :

$A$ est unitaire si $A^*A = I_n$ et hermitienne si $A^* = A$.

Il est admis que $A$ est unitaire dès que, pour tout $x \in \mathbb{C}^n$, $\left\lVert Ax \right\rVert = \left\lVert x \right\rVert$, que la réciproque est vraie, et que $A$ est unitaire exactement quand ses colonnes forment une base orthonormale.

Théorème admis (réduction).

Si $A$ est unitaire (respectivement hermitienne), il existe $U$ unitaire telle que $A = U\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)U^{-1}$, où les $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $A$, toutes de module $1$ (respectivement réelles).

Pour $p = \sum_{i=0}^{r} p_i X^i \in \mathbb{C}[X]$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, $p(A) = \sum_{i=0}^{r} p_i A^i$.

Pour $S \subset \mathbb{C}$ compact, $\left\lVert p \right\rVert_S = \sup_{\alpha \in S} \left\lvert p(\alpha) \right\rvert$.

On note $\sigma(A)$ l'ensemble des valeurs propres de $A$.

L'entier $n \ge 1$ est fixé dans toute la suite.