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BCPST2 · Physique-chimie · semaine 32

Conduction thermique

Modèle phénoménologique de la conduction thermique et rôle fondamental de l'agitation thermique. Loi de Fourier énoncée sous forme intégrale et bilan d'énergie en régime stationnaire ou quasi-stationnaire. Résistance thermique et loi d'échelle donnant le temps caractéristique de conduction à partir de la diffusivité thermique.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La conduction transporte l'énergie de proche en proche par l'agitation thermique, sans déplacement de matière.
  2. Loi de Fourier sous forme intégrale : Φ=−λS dT/dx\Phi=-\lambda S\,\dd T/\dd x, la surface SS étant adaptée à la géométrie. Le signe moins traduit le transfert du chaud vers le froid.
  3. En régime stationnaire et sans source interne, le flux se conserve. Le profil de température est alors :
    • linéaire en géométrie plane ;
    • logarithmique en géométrie cylindrique ;
    • en 1/r1/r en géométrie sphérique.
  4. La résistance thermique Rth=(T1−T2)/ΦR_{\mathrm{th}}=(T_1-T_2)/\Phi vaut e/(λS)e/(\lambda S) pour une paroi plane, et s'associe comme une résistance électrique.
  5. Avec D=λ/(ρc)D=\lambda/(\rho c), la loi d'échelle τ≈L2/D\tau\approx L^2/D donne le temps caractéristique. La dépendance quadratique rend la conduction efficace à petite échelle et lente à grande échelle.
Pourquoi ce chapitre

DéfinitionConduction

La conduction est le mode de transfert thermique qui opère dans les solides et dans les fluides immobiles.

C'est elle qui fixe :

  • l'épaisseur d'un isolant ;
  • le temps de cuisson à cœur d'un aliment ;
  • la perte thermique d'un organisme ;
  • la vitesse de refroidissement d'une coulée de lave ;
  • le gradient de température sous nos pieds.

Le chapitre reprend la démarche suivie en première année pour la diffusion de particules :

  1. Une loi phénoménologique reliant un flux à une différence.
  2. Un bilan local.
  3. Un temps caractéristique.

Il fournit la justification des expressions de résistance thermique, qui étaient admises.

Les questions posées sont de deux types : établir une résistance dans une géométrie donnée, ou estimer un temps par une loi d'échelle.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour BCPST2.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Physique-chimie.

Essayer 7 jours gratuitement Sans engagement · cours, exercices et fiches complets

Fin de l'aperçu gratuit

Encore 8 parties de cours et 1 corrigé.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Approfondissement hors programme 1

Exercice HP. Où se produit l’entropie dans une paroi ? ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en BCPST2

Une paroi homogène immobile, de section constante A>0A>0, d’épaisseur L>0L>0, de capacité thermique volumique constante C>0C>0 et de conductivité constante λ>0\lambda>0, est calorifugée latéralement et ne contient aucune source de chaleur. En régime stationnaire unidimensionnel, ses faces sont en contact parfait avec deux thermostats imposant T(0)=ThT(0)=T_h et T(L)=TcT(L)=T_c, avec Th>Tc>0T_h>T_c>0. Les températures sont absolues, les longueurs en mètres et les autres grandeurs en unités SI. La température est de classe C2\mathcal C^2 sur [0,L][0,L] et vérifie λT′′=0\lambda T''=0. On utilise la loi de Fourier jQ=−λT′(x)ex\mathbf j_Q=-\lambda T'(x)\mathbf e_x et la production volumique d’entropie σ(x)=λ[T′(x)]2/T(x)2\sigma(x)=\lambda[T'(x)]^2/T(x)^2.

  1. Déterminer T(x)T(x), le courant thermique surfacique q=jQ⋅exq=\mathbf j_Q\cdot\mathbf e_x et la puissance traversante P=AqP=Aq.
  2. Calculer le débit d’entropie produit entre 00 et une abscisse x∈[0,L]x\in[0,L], noté S˙[0,x]\dot S_{[0,x]}. En déduire le débit total produit.
  3. Déterminer l’unique abscisse x∗x_* telle que la moitié de la production totale ait lieu entre 00 et x∗x_*. Comparer x∗x_* à L/2L/2 et interpréter.
  4. Pour Th=600 KT_h=600\,\mathrm K et Tc=300 KT_c=300\,\mathrm K, calculer x∗/Lx_*/L et la fraction de la production totale située dans la moitié froide [L/2,L][L/2,L].

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST deuxième année (2021), thème T « phénomènes de transport », paragraphe T.2. Elle couvre :

  • le modèle phénoménologique de la conduction ;
  • la loi de Fourier sous forme intégrale ;
  • la conductivité et la diffusivité thermiques ;
  • la loi d'échelle donnant le temps caractéristique ;
  • le bilan d'énergie en régime stationnaire ou quasi-stationnaire ;
  • les résistances thermiques.