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BCPST1 · Maths · semaine 5

Nombres complexes

Écriture algébrique, parties réelle et imaginaire, conjugaison et module avec leurs interprétations géométriques. Forme trigonométrique, notation exponentielle, arguments et linéarisation de produits de cosinus et de sinus. Résolution des équations du second degré à coefficients réels et de l'équation x au carré égal à a dans C.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Tout complexe s'écrit de façon unique a+iba+\ii b avec aa et bb réels, ce qui autorise l'identification des parties réelle et imaginaire.
  2. zz est réel si et seulement si z‾=z\overline z=z, imaginaire pur si et seulement si z‾=−z\overline z=-z. Et ∣z∣2=zz‾\abs z^2=z\overline z.
  3. eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ\e^{\ii\theta}=\cos\theta+\ii\sin\theta est de module 11, les exponentielles se multiplient en ajoutant les arguments. Tout complexe non nul s'écrit reiθr\e^{\ii\theta} avec r=∣z∣r=\abs z, et θ\theta défini modulo 2π2\pi.
  4. Les formules d'Euler et de Moivre servent à retrouver la trigonométrie et à linéariser avant d'intégrer.
  5. Une équation du second degré à coefficients réels de discriminant négatif a deux racines complexes conjuguées. Leur somme vaut −b/a-b/a et leur produit c/ac/a.
Pourquoi ce chapitre

Pour la majorité des étudiants, ce chapitre est entièrement nouveau. On veut munir le plan d'opérations compatibles avec celles de la droite réelle, et pouvoir résoudre des équations algébriques qui n'ont pas de solution réelle, à commencer par x2=−1x^2=-1.

En BCPST, les complexes servent d'outil de calcul dans deux situations du programme :

  • les suites vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre deux ;
  • les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.

Dans les deux cas, on transite par C\C pour obtenir la forme des solutions réelles. Ils servent aussi à retrouver les formules de trigonométrie et à linéariser.

RemarquePérimètre du programme

  • L'utilisation des complexes pour résoudre des problèmes de géométrie n'est pas un objectif.
  • La recherche des racines nn-ièmes pour n⩾3n\geqslant 3 n'est pas un attendu.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Parties réelle et imaginaire 2

Exercice 1 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Déterminer les réels xx tels que (x+i)(2−ix)(x + i)(2 - ix) soit réel, puis ceux tels qu'il soit imaginaire pur.

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Technique développer et identifier.

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Résultat

réel si et seulement si x=±2x = \pm\sqrt2, imaginaire pur si et seulement si x=0x = 0, le nombre valant alors 2i2\ii.

  1. (x+i)(2−ix)=2x−ix2+2i−i2x=3x+i(2−x2)‾\underline{(x + \ii)(2 - \ii x) = 2x - \ii x^2 + 2\ii - \ii^2 x = 3x + \ii(2 - x^2)} (développement, propriété 1.5, addition et multiplication).
  2. Réel   ⟺  2−x2=0  ⟺  x=±2‾\iff 2 - x^2 = 0 \iff \underline{x = \pm\sqrt2} (partie imaginaire nulle, définition 1.4, réel et imaginaire pur).
  3. Imaginaire pur   ⟺  3x=0  ⟺  x=0\iff 3x = 0 \iff x = 0, et le nombre vaut alors 2i2\ii (partie réelle nulle).

piège : Oublier que −i2x=+x-\ii^2 x = +x.

Exercice 10 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type Centrale

Soit zz de module 11, différent de 11. Montrer que w=(1+z)/(1−z)w = (1 + z)/(1 - z) est imaginaire pur, puis l'exprimer avec un argument θ\theta de zz.

Voir le début du corrigé
  1. wˉ=1+1/z1−1/z=z+1z−1=−w‾\underline{\bar w = \frac{1 + 1/z}{1 - 1/z} = \frac{z + 1}{z - 1} = -w} (zˉ=1/z\bar z = 1/z car ∣z∣=1\abs z = 1), donc ww imaginaire pur (propriété 2.4, caractérisations).

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Forme exponentielle 3

Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Écrire sous forme exponentielle z1=1+iz_1 = 1 + i et z2=3−iz_2 = \sqrt{3} - i, puis z1/z2z_1/z_2. En déduire cos⁡(5π/12)\cos(5\pi/12).

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Exercice 3. Puissances de 1 + i ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Pour quels entiers naturels nn le nombre (1+i)n(1 + i)^n est-il réel ?

Imaginaire pur ?

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Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit

Soit θ\theta réel non multiple de 2π2\pi et nn entier naturel. Calculer S=∑k=0neikθS = \sum_{k=0}^{n} e^{ik\theta} et en déduire ∑cos⁡(kθ)\sum \cos(k\theta). L'énoncé suggère l'angle moitié.

Voir le début du corrigé
  1. eiθ≠1\e^{\ii\theta} \neq 1 (θ\theta non multiple de 2π2\pi), donc S=ei(n+1)θ−1eiθ−1‾\underline{S = \frac{\e^{\ii(n+1)\theta} - 1}{\e^{\ii\theta} - 1}} (théorème 3.1, somme géométrique).

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Équations complexes 2

Exercice 4. Racines cubiques de l'unité ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Résoudre z2+z+1=0.z^2 + z + 1 = 0. Montrer que les solutions vérifient z3=1z^3 = 1.

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Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle vers écrit

Résoudre z2=−5+12iz^2 = -5 + 12i par la méthode algébrique, puis z2=iz^2 = i par la méthode trigonométrique.

Voir le début du corrigé
  1. Soit z=x+iyz = x + \ii y. Alors x2−y2=−5x^2 - y^2 = -5, 2xy=122xy = 12 (identification) et x2+y2=13x^2 + y^2 = 13 (modules).

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Suites récurrentes 1

Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, type Agro-Véto

Une suite réelle vérifie u0=1u_0 = 1, u1=1u_1 = 1 et un+2=un+1−unu_{n+2} = u_{n+1} - u_n. Résoudre r2−r+1=0r^2 - r + 1 = 0 dans C\mathbb{C} et en déduire que la suite est périodique.

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Linéarisation et intégrales 1

Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type G2E

L'énoncé indique d'utiliser Euler. Linéariser cos⁡4x\cos^4 x, puis calculer l'intégrale de 00 à π/2\pi/2 de cos⁡4x dx\cos^4 x \, dx.

Voir le début du corrigé
  1. cos⁡4x=(eix+e−ix)416\cos^4 x = \frac{(\e^{\ii x} + \e^{-\ii x})^4}{16} (propriété 4.7, formules d'Euler) et (eix+e−ix)4=e4ix+4e2ix+6+4e−2ix+e−4ix(\e^{\ii x} + \e^{-\ii x})^4 = \e^{4\ii x} + 4\e^{2\ii x} + 6 + 4\e^{-2\ii x} + \e^{-4\ii x} (théorème 4.5, formule du binôme).

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Module et inégalité triangulaire 1

Exercice 9. Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire ★★★

Approfondissement · 30 min · Écrit, plus délicat

Montrer que ∣z+z′∣=∣z∣+∣z′∣|z + z'| = |z| + |z'| si et seulement si z′=0z' = 0 ou z=λz′z = \lambda z' avec λ\lambda réel positif.

Voir le début du corrigé
  1. ∣z+z′∣2=∣z∣2+∣z′∣2+2Re⁡(zzˉ′)\abs{z + z'}^2 = \abs z^2 + \abs{z'}^2 + 2\operatorname{Re}(z\bar z') et (∣z∣+∣z′∣)2=∣z∣2+∣z′∣2+2∣zzˉ′∣(\abs z + \abs{z'})^2 = \abs z^2 + \abs{z'}^2 + 2\abs{z\bar z'}, donc égalité   ⟺  Re⁡(zzˉ′)=∣zzˉ′∣‾\iff \underline{\operatorname{Re}(z\bar z') = \abs{z\bar z'}} (propriété 3.2, deux formulations du module).

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Outils 4 : Nombres complexes ». Elle couvre l'écriture algébrique, la conjugaison, le module, la forme exponentielle, la linéarisation et les équations du second degré à coefficients réels.