Simulation de lois et convergences

Exercice 1. Attendre une germination ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Chaque graine germe indépendamment avec probabilité $p$, où $0 < p \leq 1$.

Programmer le rang de la première germination et étudier le coût.

import random
import math

def premier_succes(p):
    k = 1
    while random.random() >= p:
        k = k + 1
    return k

Exercice 2. Trois issues possibles ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Une observation produit 0, 2 ou 5 colonies, avec probabilités respectives 0,2, 0,5 et 0,3. Programmer un tirage et proposer deux contrôles.

Exercice 4. Poisson par cumulées ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit

Pour $\lambda > 0$, programmer l’inversion d’une loi de Poisson sans calculer de factorielles.

Prévoir un signal d’échec si l’accumulation numérique cesse de progresser.

Exercice 3. Première défaillance ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Deux composants ont des durées indépendantes, exponentielles de paramètres 2 et 3 par heure. Simuler la première défaillance et déterminer sa durée moyenne.

Exercice 7. Estimer une durée plafonnée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit

$X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.

Pour $T > 0$, estimer $E(\min(X, T))$ par $N$ simulations indépendantes, puis obtenir une valeur exacte de contrôle.

Exercice 8. Inverser la normale ★★★

Approfondissement · 25 min · Niveau écrit, approfondissement

Une fonction phi évalue la répartition normale centrée réduite.

Pour $0 < u < 1$, on fournit $a < b$ avec $$\mathrm{phi}(a) \leq u \leq \mathrm{phi}(b).$$ Approcher le quantile par $m$ étapes de dichotomie.

Exercice 5. Approcher les événements rares ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit

Approcher une Poisson de paramètre $4$ par une binomiale.

Comparer les choix $n = 20$ et $n = 400$, puis programmer le tirage.

Exercice 9. Voir le théorème central limite ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit

Avec des exponentielles indépendantes de paramètre 1, construire une somme centrée réduite. Décrire une expérience distinguant les rôles de n et N.

Exercice 6. Répartition avec répétitions ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Pour l’échantillon [1, 1, 3, 5], déterminer la répartition empirique, puis programmer son évaluation sur une liste non vide.

Exercice 10. Canal à deux états ★★★

Approfondissement · 25 min · Niveau écrit, approfondissement

Un canal fermé s’ouvre avec probabilité $a = 0{,}2$ par pas.

Un canal ouvert se ferme avec probabilité $b = 0{,}3$.

Il est initialement fermé.

Programmer son état après $n$ pas et calculer sa probabilité d’ouverture.

Exercice HP. Estimer e−1 par tirages antithétiques ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en BCPST2

Soit $U$ de loi uniforme sur $]0,1[$ et $f(x)=e^x$. On veut estimer $I=\int_0^1 e^x\,\dd x$. Soit $U_1,\dots,U_{2n}$ indépendantes de même loi que $U$. On pose $N_{2n}=\frac1{2n}\sum_{k=1}^{2n}e^{U_k}$ et $A_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{e^{U_k}+e^{1-U_k}}2$.

1. Calculer $I$ et vérifier que $N_{2n}$ et $A_n$ sont sans biais.
2. Calculer $\sigma^2=\operatorname{Var}(e^U)$ et en déduire $\operatorname{Var}(N_{2n})$.
3. Calculer $c=\operatorname{Cov}(e^U,e^{1-U})$. Sans la calculer, justifier le signe de $c$.
4. En déduire $\operatorname{Var}(A_n)$, puis le rapport $\operatorname{Var}(N_{2n})/\operatorname{Var}(A_n)$ (valeur approchée).
5. On veut un écart-type d'au plus $10^{-3}$. Combien d'évaluations de $f$ faut-il pour chaque méthode ? On donne $e\approx2{,}718282$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.